第5問

整数係数をもつ次数

n>1

の多項式

P(x)

と正の整数

k

をとる。

P

が

k

回現れる合成

Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots))

を定める。

Q(t)=t

を満たす整数

t

は高々

n

個であることを証明せよ。

ステップ 1/8: 整数の可除性補題を記す

前のステップ次のステップ

u-v\mid P(u)-P(v)\qquad(u,v\in\mathbb Z,\ u\ne v)

詳しい解説

相異なる整数 $u,v$ では各 $u^j-v^j$ が $u-v$ で割り切れる。 $P$ は整数係数なので、これらを足し合わせて $u-v\mid P(u)-P(v)$ を得る。