第5問

整数係数をもつ次数

n>1

の多項式

P(x)

と正の整数

k

をとる。

P

が

k

回現れる合成

Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots))

を定める。

Q(t)=t

を満たす整数

t

は高々

n

個であることを証明せよ。

ステップ 7/8: すべての点を一つの次数

n

の多項式に入れる

前のステップ次のステップ

F(x)=C-x-P(x),\qquad C=a+b,\qquad F(\alpha)=0

詳しい解説

$C=a+b$ とおく。任意の $P^2$ の不動点 $\alpha$ に対して $\beta=P(\alpha)$ とすれば、ステップ6より $\alpha+\beta=C$ である。従って $F(\alpha)=C-\alpha-P(\alpha)=0$ 。 $a,b$ もこの式を満たし、 $P$ と同じく $F$ の次数は $n$ である。