MathLabs

第5問

整数係数をもつ次数 n>1n>1 の多項式 P(x)P(x) と正の整数 kk をとる。PP が kk 回現れる合成 Q(x)=P(P(…P(x)…))Q(x)=P(P(\ldots P(x)\ldots)) を定める。Q(t)=tQ(t)=t を満たす整数 tt は高々 nn 個であることを証明せよ。
ステップ 8/8: 根を数えて証明を終える
#{t∈Z:Q(t)=t}≤#{x:F(x)=0}≤n\#\{t\in\mathbb Z:Q(t)=t\}\le\#\{x:F(x)=0\}\le n
詳しい解説

ステップ4により QQ の整数不動点はすべて P2P^2 の不動点であり、ステップ7によりそれらはすべて非零な次数 nn の多項式 FF の根である。従って Q(t)=tQ(t)=t の整数解は高々 nn 個であり、証明が完了する。