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第6問

凸多角形 PP の各辺 bb に対し、bb を一辺とし PP に含まれる三角形の面積の最大値を対応させる。PP の各辺に対応させた面積の総和は、PP の面積の二倍以上であることを示せ。
ステップ 2/5: 鳩の巣原理により面積 S/mS/m 以上のバタフライが存在する
前のステップ次のステップ
∑i=0m−1[Bi]≥S ⟹ ∃ i: [Bi]≥Sm\sum_{i=0}^{m-1}[B_i]\ge S\ \Longrightarrow\ \exists\,i:\ [B_i]\ge\frac{S}{m}
詳しい解説

mm 個のバタフライ B0,…,Bm−1B_0,\dots,B_{m-1} が面積 SS の多角形 QQ を覆うので、それらの面積の総和は SS 以上である。平均をとることで、少なくとも一つのバタフライ BiB_i は面積 [Bi]≥S/m[B_i]\ge S/m を持つ。