第6問

凸多角形

P

の各辺

b

に対し、

b

を一辺とし

P

に含まれる三角形の面積の最大値を対応させる。

P

の各辺に対応させた面積の総和は、

P

の面積の二倍以上であることを示せ。

ステップ 3/5: 各バタフライはその二辺のうち一方を底辺とする三角形の面積以下である

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$O_i$ で交わる四本の腕の長さ $a,b,c,d$ を持つ蝶ネクタイにおいて、最も短い腕 $d$ を隣の腕 $b\ge d$ に置き換えると、片方の翼がより大きな三角形に替わり、もう片方の翼と合わさって多角形の一つの三角形になる。

d=\min(a,b,c,d)\ \Longrightarrow\ [\triangle P_iP_{i+1}P_{i+m}]=[\triangle P_iO_iP_{i+1}]+[\triangle P_{i+1}O_iP_{i+m}]\ge[\triangle P_iO_iP_{i+1}]+[\triangle P_{i+m}O_iP_{i+m+1}]=[B_i]

詳しい解説

バタフライ $B_i$ において $a=P_iO_i$ 、 $b=P_{i+1}O_i$ 、 $c=P_{i+m}O_i$ 、 $d=P_{i+m+1}O_i$ 、 $\theta=\angle P_iO_iP_{i+1}=\angle P_{i+m}O_iP_{i+m+1}$ とおく。一般性を失わず $d=\min(a,b,c,d)$ とする（他の三つの場合も対称で、 $\triangle P_iP_{i+1}P_{i+m+1}$ 、 $\triangle P_{i+m}P_{i+m+1}P_i$ 、 $\triangle P_{i+m}P_{i+m+1}P_{i+1}$ のいずれかを与える）。 $b\ge d$ より $[\triangle P_{i+1}O_iP_{i+m}]=\frac12 bc\sin\theta\ge\frac12 dc\sin\theta=[\triangle P_{i+m}O_iP_{i+m+1}]$ 。両辺に $[\triangle P_iO_iP_{i+1}]$ を足すと $[\triangle P_iP_{i+1}P_{i+m}]\ge[B_i]\ge S/m$ を得る。これで主要補題が示された：面積 $S$ の任意の概凸 $2m$ 角形は、面積 $S/m$ 以上の内接三角形を作る辺を持つ。