第6問

凸多角形

P

の各辺

b

に対し、

b

を一辺とし

P

に含まれる三角形の面積の最大値を対応させる。

P

の各辺に対応させた面積の総和は、

P

の面積の二倍以上であることを示せ。

ステップ 4/5:

\sum a_r<2S

ならば有理数の上界

k_r/(2m)

を選ぶ

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$n$ 個の正の数の和が $1$ より真に小さいとき、それぞれを少しだけ大きくして有理数に置き換え、 $n$ 個の有理数の和がちょうど $1$ になるようにできる。分母を払い（さらに各分子が偶数になるよう二倍すれ）ば整数 $k_r$ が得られる。

\sum_{r=1}^n a_r<2S\ \Longrightarrow\ \exists\,k_1,\dots,k_n\in 2\mathbb Z_{>0}:\ \frac{a_r}{2S}<\frac{k_r}{2m}\quad\left(2m=\sum_{r=1}^n k_r\right)

詳しい解説

$P$ の辺を $b_1,\dots,b_n$ 、対応する最大三角形面積を $a_1,\dots,a_n$ とし、背理法のため $\sum_{r=1}^n a_r<2S$ 、すなわち $\sum_{r=1}^n\frac{a_r}{2S}<1$ と仮定する。有理数の稠密性より、各 $r$ で $\frac{a_r}{2S}<q_r$ かつ $\sum_{r=1}^n q_r=1$ を満たす正の有理数 $q_1,\dots,q_n$ を選べる。共通の偶数分母 $2m$ を用いて $q_r=k_r/(2m)$ と書く（必要なら分子・分母を二倍して各 $k_r$ を正の偶数にする）と、 $\sum_{r=1}^n k_r=2m$ のもとで $\frac{a_r}{2S}<\frac{k_r}{2m}$ 、すなわち $a_r<k_r\frac{S}{m}$ が成り立つ。