qqq までの累積最大値と qqq 以降の累積最小値はいずれも数列の実際の項なので、その差は文字通り ap−ara_p - a_rap−ar である。
d=dqd = d_qd=dq となる qqq を選び、ap=max{aj:1≤j≤q}a_p = \max\{a_j : 1 \le j \le q\}ap=max{aj:1≤j≤q} および ar=min{aj:q≤j≤n}a_r = \min\{a_j : q \le j \le n\}ar=min{aj:q≤j≤n} となる p≤q≤rp \le q \le rp≤q≤r を選ぶと、d=ap−ard = a_p - a_rd=ap−ar である。ap≥aq≥ara_p \ge a_q \ge a_rap≥aq≥ar なので、d≥0d \ge 0d≥0 でもある。