MathLabs

第1問

実数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n が与えられている。各 ii（1≤i≤n1 \le i \le n）に対して di=max⁡{aj:1≤j≤i}−min⁡{aj:i≤j≤n}d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\} と定め、d=max⁡{di:1≤i≤n}d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\} とおく。(a) 任意の実数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n に対し、max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2} を証明せよ。(b) この不等式で等号が成り立つような実数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n が存在することを示せ。
ステップ 2/5: p と r における二つの誤差の和を評価する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの符号付き偏差を整理すると ap−ar=da_p - a_r = d と xr−xpx_r - x_p が現れる。後者は数列が非減少で p≤rp \le r なので非負である。

(ap−xp)+(xr−ar)=(ap−ar)+(xr−xp)≥d(a_p - x_p) + (x_r - a_r) = (a_p - a_r) + (x_r - x_p) \ge d
詳しい解説

任意の実数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n に対し、p≤rp \le r だから xr−xp≥0x_r - x_p \ge 0。したがって (ap−xp)+(xr−ar)=(ap−ar)+(xr−xp)≥ap−ar=d(a_p - x_p) + (x_r - a_r) = (a_p - a_r) + (x_r - x_p) \ge a_p - a_r = d である。