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第1問

実数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n が与えられている。各 ii（1≤i≤n1 \le i \le n）に対して di=max⁡{aj:1≤j≤i}−min⁡{aj:i≤j≤n}d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\} と定め、d=max⁡{di:1≤i≤n}d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\} とおく。(a) 任意の実数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n に対し、max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2} を証明せよ。(b) この不等式で等号が成り立つような実数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n が存在することを示せ。
ステップ 3/5: (a) の下界を結論する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの数の和が少なくとも dd なら、その大きい方は少なくとも d2\dfrac{d}{2} である。

max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥max⁡{ap−xp, xr−ar}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \max\{a_p - x_p,\, x_r - a_r\} \ge \frac{d}{2}
詳しい解説

(ap−xp)+(xr−ar)≥d(a_p - x_p) + (x_r - a_r) \ge d より、ap−xpa_p - x_p と xr−arx_r - a_r の少なくとも一方は d2\dfrac{d}{2} 以上である。したがって max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥max⁡{∣xp−ap∣,∣xr−ar∣}≥max⁡{ap−xp,xr−ar}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \max\{|x_p - a_p|, |x_r - a_r|\} \ge \max\{a_p - x_p, x_r - a_r\} \ge \dfrac{d}{2} となり、(a) が示される。