MathLabs

第1問

実数 a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n が与えられている。各 ii（1≤i≤n1 \le i \le n）に対して di=max⁡{aj:1≤j≤i}−min⁡{aj:i≤j≤n}d_i = \max\{a_j : 1 \le j \le i\} - \min\{a_j : i \le j \le n\} と定め、d=max⁡{di:1≤i≤n}d = \max\{d_i : 1 \le i \le n\} とおく。(a) 任意の実数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n に対し、max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}≥d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} \ge \dfrac{d}{2} を証明せよ。(b) この不等式で等号が成り立つような実数 x1≤x2≤⋯≤xnx_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n が存在することを示せ。
ステップ 5/5: 構成した数列で等号が成り立つことを確認する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

各項は aia_i から d2\dfrac{d}{2} 以内にあり、また (a) により最大値は少なくとも d2\dfrac{d}{2} なので、等号が成り立つ。

−d2≤(Mi−ai)−d2≤d2  ⟹  max⁡1≤i≤n∣xi−ai∣=d2-\frac{d}{2} \le (M_i - a_i) - \frac{d}{2} \le \frac{d}{2} \implies \max_{1 \le i \le n} |x_i - a_i| = \frac{d}{2}
詳しい解説

0≤Mi−ai≤d0 \le M_i - a_i \le d から d2\dfrac{d}{2} を引くと −d2≤xi−ai≤d2-\dfrac{d}{2} \le x_i - a_i \le \dfrac{d}{2}、すなわち全ての ii で ∣xi−ai∣≤d2|x_i - a_i| \le \dfrac{d}{2} である。(a) の下界 max⁡i∣xi−ai∣≥d2\max_i |x_i - a_i| \ge \dfrac{d}{2} と合わせれば、max⁡{∣xi−ai∣:1≤i≤n}=d2\max\{|x_i - a_i| : 1 \le i \le n\} = \dfrac{d}{2} となり、(b) が示される。