MathLabs

第2問

5点 A,B,C,D,EA, B, C, D, E を、ABCDABCD が平行四辺形で BCEDBCED が円に内接する四角形となるように取る。AA を通る直線を ℓ\ell とする。ℓ\ell が線分 DCDC の内部と FF で交わり、直線 BCBC と GG で交わるとする。さらに EF=EG=ECEF = EG = EC と仮定する。ℓ\ell が角 DABDAB の二等分線であることを証明せよ。
ステップ 1/4: 二等分線の主張を CF = CG に帰着する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ABCDABCD の平行な辺に沿う錯角により、∠DAB\angle DAB の二つの半分が △CFG\triangle CFG の底角に移る。

∠GAB=∠GFC,∠FAD=∠FGC  ⟹  (CF=CG  ⟹  ∠GAB=∠FAD)\angle GAB = \angle GFC, \quad \angle FAD = \angle FGC \implies (CF = CG \implies \angle GAB = \angle FAD)
詳しい解説

AB∥DCAB \parallel DC かつ AD∥BCAD \parallel BC なので、横断線 ℓ\ell による錯角から ∠GAB=∠GFC\angle GAB = \angle GFC、∠FAD=∠FGC\angle FAD = \angle FGC を得る。CF=CGCF = CG なら △CFG\triangle CFG は二等辺で ∠GFC=∠FGC\angle GFC = \angle FGC、従って ∠GAB=∠FAD\angle GAB = \angle FAD となり、ℓ\ell は ∠DAB\angle DAB を二等分する。よって CF<CGCF < CG と CF>CGCF > CG を排除すればよい。