MathLabs

第2問

5点 A,B,C,D,EA, B, C, D, E を、ABCDABCD が平行四辺形で BCEDBCED が円に内接する四角形となるように取る。AA を通る直線を ℓ\ell とする。ℓ\ell が線分 DCDC の内部と FF で交わり、直線 BCBC と GG で交わるとする。さらに EF=EG=ECEF = EG = EC と仮定する。ℓ\ell が角 DABDAB の二等分線であることを証明せよ。
ステップ 3/4: 円に内接する四角形 BCED から DK と BL を比較する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

円に内接する四角形 BCEDBCED の円周角により、直角三角形 DEKDEK と BELBEL は相似になり、KE>LEKE > LE から DK>BLDK > BL が従う。

∠EDC=∠EBC  ⟹  △DEK∼△BEL  ⟹  (KE>LE  ⟹  DK>BL)\angle EDC = \angle EBC \implies \triangle DEK \sim \triangle BEL \implies (KE > LE \implies DK > BL)
詳しい解説

BCEDBCED は円に内接するので ∠EDC=∠EBC\angle EDC = \angle EBC。従って KK で直角の DEKDEK と LL で直角の BELBEL は相似である。ステップ2の KE>LEKE > LE より、対応する辺は DK>BLDK > BL を満たす。