MathLabs

第2問

5点 A,B,C,D,EA, B, C, D, E を、ABCDABCD が平行四辺形で BCEDBCED が円に内接する四角形となるように取る。AA を通る直線を ℓ\ell とする。ℓ\ell が線分 DCDC の内部と FF で交わり、直線 BCBC と GG で交わるとする。さらに EF=EG=ECEF = EG = EC と仮定する。ℓ\ell が角 DABDAB の二等分線であることを証明せよ。
ステップ 4/4: DF > AD を導き、ADF と GCF の相似に矛盾させる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

短い半底辺 KF<LCKF < LC を長い辺 DK>BLDK > BL から引くと DF>BC=ADDF > BC = AD となり、これは ADDF=CGCF>1\dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CG}{CF} > 1 に直接矛盾する。

DF=DK−KF>BL−LC=BC=AD,△ADF∼△GCF  ⟹  ADDF=CGCF>1DF = DK - KF > BL - LC = BC = AD, \qquad \triangle ADF \sim \triangle GCF \implies \frac{AD}{DF} = \frac{CG}{CF} > 1
詳しい解説

DK>BLDK > BL（ステップ3）と KF<LCKF < LC（ステップ2）から DF=DK−KF>BL−LC=BC=ADDF = DK - KF > BL - LC = BC = AD、従って ADDF<1\dfrac{AD}{DF} < 1。一方 AD∥GCAD \parallel GC なので △ADF∼△GCF\triangle ADF \sim \triangle GCF、仮定 CF<CGCF < CG により ADDF=CGCF>1\dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CG}{CF} > 1 となり矛盾する。CF>CGCF > CG の場合は KF>LCKF > LC、KE<LEKE < LE、DK<BLDK < BL、DF<ADDF < AD および 1<ADDF=CGCF<11 < \dfrac{AD}{DF} = \dfrac{CG}{CF} < 1 という逆の不等式が得られ、同じく矛盾する。従って CF=CGCF = CG であり、ステップ1から ℓ\ell は ∠DAB\angle DAB の二等分線である。