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第4問

三角形 ABCABC において、角 BCABCA の二等分線は外接円と再び RR で交わり、BCBC の垂直二等分線と PP で交わり、ACAC の垂直二等分線と QQ で交わる。BCBC の中点を KK、ACAC の中点を LL とする。三角形 RPKRPK と三角形 RQLRQL の面積が等しいことを証明せよ。
ステップ 2/4: 外心Oにおいて三角形OPQが二等辺三角形であることを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

OO は二つの垂直二等分線 PKPK と QLQL の両方の上にあるため、CRCR に沿った △OPQ\triangle OPQ の底角はステップ1の等しい鋭角と一致する。

∠OPQ=∠CPK=∠CQL=∠OQP  ⟹  OP=OQ\angle OPQ = \angle CPK = \angle CQL = \angle OQP \implies OP = OQ
詳しい解説

△ABC\triangle ABC の外心を OO とし、これは二つの垂直二等分線 KPKP と LQLQ の両方の上にある。ステップ1の ∠CPK=∠CQL\angle CPK = \angle CQL より、△OPQ\triangle OPQ における点 PP と QQ での対頂角／共線角は ∠OPQ=∠OQP\angle OPQ = \angle OQP を満たすので、△OPQ\triangle OPQ は二等辺三角形であり OP=OQOP = OQ である。