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第4問

三角形 ABCABC において、角 BCABCA の二等分線は外接円と再び RR で交わり、BCBC の垂直二等分線と PP で交わり、ACAC の垂直二等分線と QQ で交わる。BCBC の中点を KK、ACAC の中点を LL とする。三角形 RPKRPK と三角形 RQLRQL の面積が等しいことを証明せよ。
ステップ 3/4: 弦CR上でPとQが対称であることを導く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

外心 OO から弦 CRCR に下ろした垂線は、弦 CRCR と二等辺三角形 OPQOPQ の底辺 PQPQ の両方を二等分する。

OE⊥CR  ⟹  CE=ER and PE=EQ  ⟹  RP=CQ, RQ=CPOE \perp CR \implies CE = ER \text{ and } PE = EQ \implies RP = CQ,\ RQ = CP
詳しい解説

外心 OO から垂線 OE⊥CROE \perp CR を下ろす。CRCR は外接円の弦なので EE は CRCR の中点であり（CE=ERCE = ER）、OP=OQOP = OQ なので EE は PQPQ の中点でもある（PE=EQPE = EQ）。直線 CRCR に沿って引き算と足し算を行うと RP=CQRP = CQ と RQ=CPRQ = CP が得られる。