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第4問

三角形 ABCABC において、角 BCABCA の二等分線は外接円と再び RR で交わり、BCBC の垂直二等分線と PP で交わり、ACAC の垂直二等分線と QQ で交わる。BCBC の中点を KK、ACAC の中点を LL とする。三角形 RPKRPK と三角形 RQLRQL の面積が等しいことを証明せよ。
ステップ 4/4: 面積比を計算して等しいことを結論づける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

等しい挟角によって正弦の因子が打ち消され、二つの比 RPRQ=CQCP\dfrac{RP}{RQ} = \dfrac{CQ}{CP} と PKQL=CPCQ\dfrac{PK}{QL} = \dfrac{CP}{CQ} は正確に互いの逆数になっている。

[△RPK][△RQL]=12RP⋅PKsin⁡∠RPK12RQ⋅QLsin⁡∠RQL=RPRQ⋅PKQL=CQCP⋅CPCQ=1\frac{[\triangle RPK]}{[\triangle RQL]} = \frac{\frac{1}{2} RP \cdot PK \sin \angle RPK}{\frac{1}{2} RQ \cdot QL \sin \angle RQL} = \frac{RP}{RQ} \cdot \frac{PK}{QL} = \frac{CQ}{CP} \cdot \frac{CP}{CQ} = 1
詳しい解説

ステップ1の ∠RPK=∠RQL\angle RPK = \angle RQL、ステップ1の PKQL=CPCQ\dfrac{PK}{QL} = \dfrac{CP}{CQ}、およびステップ3の RPRQ=CQCP\dfrac{RP}{RQ} = \dfrac{CQ}{CP} を用いると、面積比は [△RPK][△RQL]=RP⋅PKRQ⋅QL=CQCP⋅CPCQ=1\dfrac{[\triangle RPK]}{[\triangle RQL]} = \dfrac{RP \cdot PK}{RQ \cdot QL} = \dfrac{CQ}{CP} \cdot \dfrac{CP}{CQ} = 1 となり、[△RPK]=[△RQL][\triangle RPK] = [\triangle RQL] が成り立つ。