MathLabs

第5問

aa と bb を正の整数とする。4ab−14ab-1 が (4a2−1)2(4a^2-1)^2 を割り切るならば a=ba=b であることを示せ。
ステップ 3/3: 2x + y を最小化して悪い組を排除する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

x,yx, y のどちらが大きくても、ステップ1が yy を z<x<yz < x < y に縮小するか、ステップ2が (x,y)(x,y) を (y,x)(y,x) に入れ替えるかのいずれかにより、どちらの場合も 2x+y2x+y が厳密に減少する。

(x,y) bad with 2x+y minimal:x<y  ⟹  2x+z<2x+y;y<x  ⟹  2y+x<2x+y(x,y) \text{ bad with } 2x+y \text{ minimal}: \quad x < y \implies 2x+z < 2x+y; \quad y < x \implies 2y+x < 2x+y
詳しい解説

背理法として悪い組が存在すると仮定し、正の整数 2x+y2x+y を最小にする悪い組 (x,y)(x,y) を選ぶ。x<yx < y ならば、ステップ1より z<x<yz < x < y を満たす悪い組 (x,z)(x,z) が得られ、2x+z<2x+y2x+z < 2x+y となって最小性に矛盾する。y<xy < x ならば、ステップ2より悪い組 (y,x)(y,x) が得られ、2y+x=(2x+y)−(x−y)<2x+y2y+x = (2x+y) - (x-y) < 2x+y となり、再び最小性に矛盾する。したがって悪い組は存在せず、4ab−1∣(4a2−1)24ab-1 \mid (4a^2-1)^2 は a=ba = b を強制する。