第6問

n

を正の整数とする。

S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\}

を三次元空間内の

(n+1)^3-1

個の点からなる集合とみなす。

S

を含むが

(0,0,0)

を含まないような平面の和集合として可能な最小の平面の個数を求めよ。

ステップ 1/5: 原点を避ける平面被覆を多項式に変換する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$(0,0,0)$ を通らない平面は方程式 $a_i x + b_i y + c_i z = 1$ を持つので、一次因子をかけ合わせると $S$ を覆う $m$ 個の平面の和集合が、 $S$ 上で消えるが $(0,0,0)$ では非零となる次数 $m$ の多項式に変換される。

P(x,y,z) = \prod_{i=1}^m (a_i x + b_i y + c_i z - 1), \qquad \deg P = m, \quad P|_S = 0, \quad P(0,0,0) = (-1)^m \ne 0

詳しい解説

$m$ 個の平面 $H_1,\ldots,H_m$ が $S$ を覆い $(0,0,0)$ を通らないとする。各 $H_i$ は $a_i x + b_i y + c_i z = 1$ と書ける。このとき $P(x,y,z) = \prod_{i=1}^m (a_i x + b_i y + c_i z - 1)$ は次数 $m$ を持ち、 $S$ の各点で消える（ $S$ の各点はいずれかの $H_i$ 上にあるため）とともに、 $P(0,0,0) = (-1)^m \ne 0$ を満たす。