第6問

n

を正の整数とする。

S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\}

を三次元空間内の

(n+1)^3-1

個の点からなる集合とみなす。

S

を含むが

(0,0,0)

を含まないような平面の和集合として可能な最小の平面の個数を求めよ。

ステップ 2/5: 直方体格子に関する帰納法の補題を述べ、準備する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

$\{0,\ldots,n\}^3$ から任意の直方体 $\{0,\ldots,n_1\}\times\{0,\ldots,n_2\}\times\{0,\ldots,n_3\}$ へ一般化することで、上面を一枚ずつ剥がしながら和 $n_1+n_2+n_3$ に関する帰納法が可能になる。

S_1 \times S_2 \times S_3 = \{0,\ldots,n_1\}\times\{0,\ldots,n_2\}\times\{0,\ldots,n_3\} \implies \deg P \ge n_1 + n_2 + n_3

詳しい解説

補題: $P \in \mathbb{R}[x,y,z]$ が $(S_1\times S_2\times S_3)\setminus\{(0,0,0)\}$ 上で消え（ここで $S_k=\{0,1,\ldots,n_k\}$ ）、 $P(0,0,0)\ne 0$ ならば $\deg P \ge n_1+n_2+n_3$ である。これを $n_1+n_2+n_3$ に関する帰納法で示す。基本ケース $n_1=n_2=n_3=0$ は $\deg P \ge 0$ より直ちに成り立つ。