第6問

$n_1+n_2+n_3 > 0$ のとき、一般性を失うことなく $n_1 > 0$ とする。$P$ を $\mathbb{R}[y,z][x]$ において $(x - n_1)$ で割ると $P(x,y,z) = (x - n_1)Q(x,y,z) + R(y,z)$ が得られる。任意の $(y,z) \in S_2 \times S_3$ に対し、点 $(n_1,y,z)$ は $n_1+y+z \ge n_1 > 0$ を満たすので $P(n_1,y,z) = 0$ であり、したがって $R(y,z) = 0$ が $S_2 \times S_3$ 全体で成り立つ。よって、より小さい格子 $\{0,\ldots,n_1-1\}\times S_2 \times S_3$ の任意の点 $(x,y,z)$ において $x - n_1 \ne 0$ とともに $P(x,y,z) = (x - n_1)Q(x,y,z)$ が成り立つ。