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第6問

nn を正の整数とする。S={(x,y,z):x,y,z∈{0,1,…,n}, x+y+z>0}S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} を三次元空間内の (n+1)3−1(n+1)^3-1 個の点からなる集合とみなす。SS を含むが (0,0,0)(0,0,0) を含まないような平面の和集合として可能な最小の平面の個数を求めよ。
ステップ 4/5: Qに帰納法の仮定を適用してm >= 3nを結論づける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

より小さい格子上で x−n1≠0x - n_1 \ne 0 であるため、QQ は PP の小さい直方体上での消失パターンをそのまま引き継ぐので、帰納法の仮定から次数の下界が得られる。

deg⁡Q≥(n1−1)+n2+n3  ⟹  deg⁡P≥deg⁡Q+1≥n1+n2+n3  ⟹  m≥3n\deg Q \ge (n_1 - 1) + n_2 + n_3 \implies \deg P \ge \deg Q + 1 \ge n_1 + n_2 + n_3 \implies m \ge 3n
詳しい解説

ステップ3より QQ は ({0,…,n1−1}×S2×S3)∖{(0,0,0)}\big(\{0,\ldots,n_1-1\}\times S_2\times S_3\big)\setminus\{(0,0,0)\} 上で消え、Q(0,0,0)=P(0,0,0)−n1≠0Q(0,0,0) = \dfrac{P(0,0,0)}{-n_1} \ne 0 である。帰納法の仮定より deg⁡Q≥(n1−1)+n2+n3\deg Q \ge (n_1-1)+n_2+n_3 であり、deg⁡P≥deg⁡((x−n1)Q)=deg⁡Q+1\deg P \ge \deg((x-n_1)Q) = \deg Q + 1 なので deg⁡P≥n1+n2+n3\deg P \ge n_1+n_2+n_3 が得られ、帰納法が完成する。n1=n2=n3=nn_1=n_2=n_3=n とおくと m=deg⁡P≥3nm = \deg P \ge 3n となる。