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第6問

nn を正の整数とする。S={(x,y,z):x,y,z∈{0,1,…,n}, x+y+z>0}S=\{(x,y,z) : x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\},\ x+y+z>0\} を三次元空間内の (n+1)3−1(n+1)^3-1 個の点からなる集合とみなす。SS を含むが (0,0,0)(0,0,0) を含まないような平面の和集合として可能な最小の平面の個数を求めよ。
ステップ 5/5: Sを覆い原点を避ける3n個の平面を提示する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

SS 内の任意の格子点は座標のうち少なくとも一つが {1,…,n}\{1,\ldots,n\} に属するので、正の座標に対応する 3n3n 個の軸に平行な平面が (0,0,0)(0,0,0) を避けつつ SS を覆う。

x=i,y=i,z=i(i=1,2,…,n)x = i,\quad y = i,\quad z = i \qquad (i = 1, 2, \ldots, n)
詳しい解説

i=1,…,ni=1,\ldots,n に対する 3n3n 個の平面 x=ix=i、y=iy=i、z=iz=i はすべて (0,0,0)(0,0,0) を避け、任意の (x,y,z)∈S(x,y,z) \in S は x+y+z>0x+y+z > 0 を満たすので x,y,zx, y, z の少なくとも一つが {1,…,n}\{1,\ldots,n\} に属し、(x,y,z)(x,y,z) をこれら 3n3n 個の平面のいずれかの上に置く。ステップ4の m≥3nm \ge 3n と合わせると、可能な最小の平面数は 3n3n である。