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第1問

鋭角三角形 ABCABC の垂心を HH とする。HH を通り中心が BCBC の中点である円は、直線 BCBC と A1A_1、A2A_2 で交わる。同様に、HH を通り中心が CACA の中点である円は直線 CACA と B1B_1、B2B_2 で交わり、HH を通り中心が ABAB の中点である円は直線 ABAB と C1C_1、C2C_2 で交わる。A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 が同一円周上にあることを示せ。
ステップ 1/3: 中点 A_0 と外心 O を用いて OA_1^2 と OA_2^2 を表す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

OO は A0A_0 における BCBC の垂直二等分線上にあり、A0A_0 を中心とする円が H,A1,A2H, A_1, A_2 を通るため、ピタゴラスの定理により OA12OA_1^2 と OA22OA_2^2 が OA0OA_0 と A0HA_0H で表される。

OA0⊥BC,A0A1=A0A2=A0H  ⟹  OA12=OA22=OA02+A0H2OA_0 \perp BC, \quad A_0A_1 = A_0A_2 = A_0H \implies OA_1^2 = OA_2^2 = OA_0^2 + A_0H^2
詳しい解説

OO を △ABC\triangle ABC の外心とし、A0,B0,C0A_0, B_0, C_0 を BC,CA,ABBC, CA, AB の中点とする。OA0⊥BCOA_0 \perp BC であり、A1,A2∈BCA_1, A_2 \in BC は半径 A0HA_0H で中心 A0A_0 の円上にあるので、直角三角形 OA0A1OA_0A_1 と OA0A2OA_0A_2 より OA12=OA22=OA02+A0A12=OA02+A0H2OA_1^2 = OA_2^2 = OA_0^2 + A_0A_1^2 = OA_0^2 + A_0H^2 が得られる。