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国際数学オリンピック · 2008年

問題

  1. 第1問鋭角三角形 ABCABC の垂心を HH とする。HH を通り中心が BCBC の中点である円は、直線 BCBC と A1A_1、A2A_2 で交わる。同様に、HH を通り中心が CACA の中点である円は直線 CACA と B1B_1、B2B_2 で交わり、HH を通り中心が ABAB の中点である円は直線 ABAB と C1C_1、C2C_2 で交わる。A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 が同一円周上にあることを示せ。解答: 1
  2. 第2問xx、yy、zz を、いずれも 11 とは異なり xyz=1xyz=1 を満たす実数とする。x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, が成り立つことを証明し、さらに等号が無限に多くの有理数の組 xx、yy、zz で成立することを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問n2+1n^2+1 が 2n+2n2n+\sqrt{2n} より大きい素因数を持つような正の整数 nn が無限に存在することを証明せよ。解答: 1
  4. 第4問f:(0,∞)→(0,∞)f: (0,\infty) \to (0,\infty)（すなわち ff は正の実数から正の実数への関数）で、(f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} を、wx=yzwx = yz を満たすすべての正の実数 w,x,y,zw, x, y, z に対して満たすものをすべて求めよ。解答: 1
  5. 第5問nn と kk を k≥nk \ge n かつ k−nk - n が偶数を満たす正の整数とする。1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2n と番号づけられた 2n2n 個のランプがあり、それぞれ点灯または消灯できる。初めはすべて消灯している。各段階でランプを一つ切り替える（点灯から消灯、または消灯から点灯）操作列を考える。NN を、kk 段階でランプ 11 から nn がすべて点灯し、ランプ n+1n+1 から 2n2n がすべて消灯する状態になる列の数とする。MM を、ランプ 11 から nn がすべて点灯し、ランプ n+1n+1 から 2n2n がすべて消灯する状態に至る kk 段階の列のうち、ランプ n+1n+1 から 2n2n が途中で一度も点灯されないものの数とする。NM\dfrac{N}{M} を求めよ。解答: 1
  6. 第6問BA≠BCBA \ne BC を満たす凸四角形 ABCDABCD を考える。三角形 ABCABC と ADCADC の内接円をそれぞれ ω1\omega_1、ω2\omega_2 とする。AA を越えて延びる半直線 BABA と、CC を越えて延びる半直線 BCBC に接し、さらに直線 ADAD と CDCD にも接する円 ω\omega が存在すると仮定する。ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の共通外接線の交点が ω\omega 上にあることを証明せよ。解答: 1