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第1問

鋭角三角形 ABCABC の垂心を HH とする。HH を通り中心が BCBC の中点である円は、直線 BCBC と A1A_1、A2A_2 で交わる。同様に、HH を通り中心が CACA の中点である円は直線 CACA と B1B_1、B2B_2 で交わり、HH を通り中心が ABAB の中点である円は直線 ABAB と C1C_1、C2C_2 で交わる。A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 が同一円周上にあることを示せ。
ステップ 2/3: 外心 O から位置ベクトルを設定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

外心 OO を原点にとると、三つの頂点ベクトルの長さがすべて RR となり、垂心に対する古典的な公式 OH→=a+b+c\overrightarrow{OH} = \mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c} が得られる。

OA→=a, OB→=b, OC→=c,∣a∣2=∣b∣2=∣c∣2=R2,OH→=a+b+c\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\ \overrightarrow{OC}=\mathbf{c}, \quad |\mathbf{a}|^2=|\mathbf{b}|^2=|\mathbf{c}|^2=R^2, \quad \overrightarrow{OH}=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}
詳しい解説

RR を △ABC\triangle ABC の外接円半径とし、OA→=a\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}、OB→=b\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}、OC→=c\overrightarrow{OC}=\mathbf{c} とおくと、∣a∣2=∣b∣2=∣c∣2=R2|\mathbf{a}|^2=|\mathbf{b}|^2=|\mathbf{c}|^2=R^2 であり、垂心は OH→=a+b+c\overrightarrow{OH}=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c} を満たす。さらに OA0→=b+c2\overrightarrow{OA_0} = \dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2} であり、A0H→=OH→−OA0→=a+b+c2=2a+b+c2\overrightarrow{A_0H} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA_0} = \mathbf{a} + \dfrac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2} = \dfrac{2\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2} となる。