MathLabs

第1問

鋭角三角形 ABCABC の垂心を HH とする。HH を通り中心が BCBC の中点である円は、直線 BCBC と A1A_1、A2A_2 で交わる。同様に、HH を通り中心が CACA の中点である円は直線 CACA と B1B_1、B2B_2 で交わり、HH を通り中心が ABAB の中点である円は直線 ABAB と C1C_1、C2C_2 で交わる。A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 が同一円周上にあることを示せ。
ステップ 3/3: OA_0^2 + A_0H^2 を展開して完全な対称性を観察する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つのノルムの二乗を展開すると a,b,c\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} について対称な式になり、巡回置換しても OO からの距離は変わらない。

OA12=∣b+c2∣2+∣2a+b+c2∣2=2R2+a⋅b+b⋅c+c⋅aOA_1^2 = \left|\frac{\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}\right|^2 + \left|\frac{2\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}\right|^2 = 2R^2 + \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}
詳しい解説

内積を展開すると OA12=OA22=∣b∣2+2b⋅c+∣c∣24+4∣a∣2+∣b∣2+∣c∣2+4a⋅b+4a⋅c+2b⋅c4=2R2+a⋅b+b⋅c+c⋅aOA_1^2 = OA_2^2 = \dfrac{|\mathbf{b}|^2 + 2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + |\mathbf{c}|^2}{4} + \dfrac{4|\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 + 4\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + 4\mathbf{a}\cdot\mathbf{c} + 2\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}}{4} = 2R^2 + \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a} が得られる。右辺は a,b,c\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} の置換について対称なので、同じ値が OB12=OB22=OC12=OC22OB_1^2 = OB_2^2 = OC_1^2 = OC_2^2 に等しく、六点 A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 はすべて中心 OO の一つの円周上にある。