MathLabs

第2問

xx、yy、zz を、いずれも 11 とは異なり xyz=1xyz=1 を満たす実数とする。x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, が成り立つことを証明し、さらに等号が無限に多くの有理数の組 xx、yy、zz で成立することを証明せよ。
ステップ 2/5: xyz = 1 を a+b+c と ab+bc+ca の間の線形関係に翻訳する
前のステップ次のステップ
xyz=1  ⟺  abc=(a−1)(b−1)(c−1)  ⟺  ab+bc+ca=a+b+c−1xyz=1 \iff abc=(a-1)(b-1)(c-1) \iff ab+bc+ca=a+b+c-1
詳しい解説

x=aa−1x=\frac{a}{a-1}、y=bb−1y=\frac{b}{b-1}、z=cc−1z=\frac{c}{c-1} を xyz=1xyz=1 に代入すると abc=(a−1)(b−1)(c−1)abc=(a-1)(b-1)(c-1) を得る。右辺を展開すると (a−1)(b−1)(c−1)=abc−(ab+bc+ca)+(a+b+c)−1(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1 となるので、abcabc の項が消えて ab+bc+ca=a+b+c−1ab+bc+ca=a+b+c-1 が得られる。