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第2問

xx、yy、zz を、いずれも 11 とは異なり xyz=1xyz=1 を満たす実数とする。x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, が成り立つことを証明し、さらに等号が無限に多くの有理数の組 xx、yy、zz で成立することを証明せよ。
ステップ 3/5: 平方完成を行い、部分 (i) を証明する
前のステップ次のステップ
a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=(a+b+c−1)2+1≥1a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=(a+b+c-1)^2+1 \ge 1
詳しい解説

s=a+b+cs=a+b+c とおく。ステップ2より ab+bc+ca=s−1ab+bc+ca=s-1 なので、a2+b2+c2=s2−2(ab+bc+ca)=s2−2(s−1)=(s−1)2+1≥1,a^2+b^2+c^2=s^2-2(ab+bc+ca)=s^2-2(s-1)=(s-1)^2+1\ge 1, となり、a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 はステップ1の目標の和であったから、これがまさに証明すべき不等式である。等号は s=1s=1、すなわち a+b+c=1a+b+c=1 のとき、かつそのときに限り成立し、そのとき ab+bc+ca=s−1=0ab+bc+ca=s-1=0 でもある。