MathLabs

第2問

xx、yy、zz を、いずれも 11 とは異なり xyz=1xyz=1 を満たす実数とする。x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, が成り立つことを証明し、さらに等号が無限に多くの有理数の組 xx、yy、zz で成立することを証明せよ。
ステップ 4/5: 等号条件 a+b+c=1, ab+bc+ca=0 を有理数パラメータ t で表す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

有理数の組が無限に必要なので、有理数パラメータで表される1助変数の解の曲線を探す。そこで有理数の傾き t = b/a を導入する。

a=1+tt2+t+1, b=t(1+t)t2+t+1, c=−tt2+t+1a=\frac{1+t}{t^2+t+1},\ b=\frac{t(1+t)}{t^2+t+1},\ c=\frac{-t}{t^2+t+1}
詳しい解説

a+b+c=1a+b+c=1、ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 の解を、有理数 tt について b=tab=ta の形で探す。c=1−a−b=1−a(1+t)c=1-a-b=1-a(1+t) を ab+bc+ca=0ab+bc+ca=0 に代入し a≠0a\ne0 で割ると a[(1+t)2−t]=1+ta\left[(1+t)^2-t\right]=1+t、すなわち a=1+tt2+t+1a=\frac{1+t}{t^2+t+1} を得る（t2+t+1>0t^2+t+1>0 は常に成り立つことに注意）。このとき b=ta=t(1+t)t2+t+1b=ta=\frac{t(1+t)}{t^2+t+1} であり、c=1−a−b=(t2+t+1)−(1+t)−t(1+t)t2+t+1=−tt2+t+1c=1-a-b=\frac{(t^2+t+1)-(1+t)-t(1+t)}{t^2+t+1}=\frac{-t}{t^2+t+1} である。