MathLabs

第2問

xx、yy、zz を、いずれも 11 とは異なり xyz=1xyz=1 を満たす実数とする。x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, が成り立つことを証明し、さらに等号が無限に多くの有理数の組 xx、yy、zz で成立することを証明せよ。
ステップ 5/5: x, y, z に戻す：等号を与える具体的な無限有理数族
前のステップ次のステップ
(x,y,z)=(−1+tt2, −t(1+t), t(t+1)2),t∈Q∖{0,−1}(x,y,z)=\left(-\frac{1+t}{t^2},\ -t(1+t),\ \frac{t}{(t+1)^2}\right),\quad t\in\mathbb{Q}\setminus\{0,-1\}
詳しい解説

x=aa−1x=\frac{a}{a-1} に a−1=−t2t2+t+1a-1=\frac{-t^2}{t^2+t+1} を用いると x=−1+tt2x=-\frac{1+t}{t^2} を得る。y=bb−1y=\frac{b}{b-1} に b−1=−1t2+t+1b-1=\frac{-1}{t^2+t+1} を用いると y=−t(1+t)y=-t(1+t) を得る。z=cc−1z=\frac{c}{c-1} に c−1=−(t+1)2t2+t+1c-1=\frac{-(t+1)^2}{t^2+t+1} を用いると z=t(t+1)2z=\frac{t}{(t+1)^2} を得る。直接確認すると、任意の有理数 t≠0,−1t\ne0,-1 について xyz=1xyz=1 が成り立ち、t2+t+1=0t^2+t+1=0 は実数解を持たないので x,y,zx,y,z はどれも 11 にならない。tt が 0,−10,-1 以外の無限に多くの有理数を動くとき、y=−t(1+t)y=-t(1+t) は無限に多くの異なる値をとるので、これにより等号を達成する有理数の組 (x,y,z)(x,y,z) が無限に得られ、部分 (ii) が証明された。■\blacksquare