nnn を探してから n2+1n^2+1n2+1 が大きな素因数を持つことを期待するのではなく、探索を逆にする：先に素数 ppp を選び、ppp が n2+1n^2+1n2+1 を割り切り、かつ nnn が十分小さくて ppp がすでに 2n+2n2n+\sqrt{2n}2n+2n を超えるように nnn を構成する。
p≥2013p\ge2013p≥2013 を満たす素数 p≡1(mod8)p\equiv1\pmod8p≡1(mod8) を任意に固定し、h=⌈p⌉h=\lceil\sqrt p\rceilh=⌈p⌉ とおく。p∣n2+1p\mid n^2+1p∣n2+1 を満たす正の整数 n≤12(p−h)n\le\frac12(p-h)n≤21(p−h) を見つけることを目指す。これに成功すれば p≥2n+h≥2n+pp\ge 2n+h\ge 2n+\sqrt pp≥2n+h≥2n+p となる。n≤12(p−h)<p2n\le\frac12(p-h)<\frac p2n≤21(p−h)<2p より 2n<p2n<p2n<p なので 2n<p≤h\sqrt{2n}<\sqrt p\le h2n<p≤h となり、p≥2n+h>2n+2np\ge2n+h>2n+\sqrt{2n}p≥2n+h>2n+2n を得る。よって ppp 自身が 2n+2n2n+\sqrt{2n}2n+2n を超える n2+1n^2+1n2+1 の素因数であり、まさに求めるものである。