第3問

背理法として $t<\frac{h-1}2$、すなわち $2t+1<h$ と仮定する。このとき $0<(2t+1)^2+4<h^2+4$ である。$h=\lceil\sqrt p\rceil$、$p\ge2013$ より $h^2+4<2p$ なので、前段より $(2t+1)^2+4$ は $p$ の正の倍数であって $2p$ 未満であり、$(2t+1)^2+4=p$ が強制される。しかし $2t+1$ は奇数であり、奇数の2乗はすべて $\equiv1\pmod8$ なので $(2t+1)^2+4\equiv5\pmod8$ となる。$p\equiv1\pmod8$ であったから、これは矛盾である。よって $t\ge\frac{h-1}2$、すなわち $x=\frac{p+1}2+t\ge\frac{p+h}2$ である。