第3問

n^2+1

が

2n+\sqrt{2n}

より大きい素因数を持つような正の整数

n

が無限に存在することを証明せよ。

ステップ 6/6: 結論：無限に多くの素数 p が無限に多くの有効な n を与える

前のステップ次のステップ

p \ge 2n+\sqrt{2n}, \quad p\mid n^2+1, \quad p\to\infty \implies \text{infinitely many valid } n

詳しい解説

ステップ5より $n\le\frac{p-h}2$ かつ $p\mid n^2+1$ なので、ステップ1の計算により $p$ は $p>2n+\sqrt{2n}$ を満たす $n^2+1$ の素因数である。 $p\equiv1\pmod8$ を満たす素数は無限に存在する（ディリクレの定理の特別な場合、あるいは円分多項式を用いて直接示せる）。対応する正の整数 $n=p-x$ が有限個の値しか取らないことはない。もしそうなら、それらの $n^2+1$ の素因数は有限個しかなく、上で構成した無限個の相異なる素数 $p$ に矛盾する。よって、要求される性質を満たす正の整数 $n$ が無限に多く存在する。 $\blacksquare$