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第4問

f:(0,∞)→(0,∞)f: (0,\infty) \to (0,\infty)（すなわち ff は正の実数から正の実数への関数）で、(f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} を、wx=yzwx = yz を満たすすべての正の実数 w,x,y,zw, x, y, z に対して満たすものをすべて求めよ。
ステップ 1/3: f(1) = 1 を求め、f(x) の各点での二次式を導く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

(1,1,1,1)(1,1,1,1) を代入すると f(1)=1f(1)=1 が定まり、(x,1,x,x)(x,1,\sqrt{x},\sqrt{x}) を代入すると f(x)f(x) の二次方程式が得られ、その根は xx と 1x\dfrac{1}{x} である。

f(1)=1,(w,x,y,z)=(x,1,x,x)  ⟹  f(x)2+12f(x)=x2+12x  ⟹  (xf(x)−1)(f(x)−x)=0f(1)=1, \qquad (w,x,y,z)=(x,1,\sqrt{x},\sqrt{x}) \implies \frac{f(x)^2+1}{2f(x)} = \frac{x^2+1}{2x} \implies (xf(x)-1)(f(x)-x)=0
詳しい解説

w=x=y=z=1w=x=y=z=1 と置くと 2f(1)22f(1)=1\dfrac{2f(1)^2}{2f(1)} = 1 なので f(1)=1f(1) = 1。次に任意の x>0x > 0 について (w,x,y,z)=(x,1,x,x)(w,x,y,z) = (x, 1, \sqrt{x}, \sqrt{x})（これは x⋅1=x⋅xx \cdot 1 = \sqrt{x}\cdot\sqrt{x} を満たす）と置くと、f(x)2+12f(x)=x2+12x\dfrac{f(x)^2 + 1}{2f(x)} = \dfrac{x^2 + 1}{2x}、すなわち xf(x)2−(x2+1)f(x)+x=(xf(x)−1)(f(x)−x)=0xf(x)^2 - (x^2+1)f(x) + x = (xf(x)-1)(f(x)-x) = 0 を得る。したがって各 x>0x > 0 で f(x)=xf(x) = x または f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} である。