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第4問

f:(0,∞)→(0,∞)f: (0,\infty) \to (0,\infty)（すなわち ff は正の実数から正の実数への関数）で、(f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} を、wx=yzwx = yz を満たすすべての正の実数 w,x,y,zw, x, y, z に対して満たすものをすべて求めよ。
ステップ 2/3: 異なる点で二つの分枝が混在する場合を排除する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

f(a)=1af(a)=\dfrac{1}{a} かつ f(b)=bf(b)=b であるような (a,b)(a,b) に対して y=z=aby=z=\sqrt{ab} と置くと、f(ab)f(ab) は ab(a−2+b2)a2+b2\dfrac{ab(a^{-2}+b^2)}{a^2+b^2} と ab,1abab, \dfrac{1}{ab} のいずれかの両方に等しくなり、a=1a=1 または b=1b=1 が強制される。

f(a)=1a, f(b)=b  ⟹  f(ab)=ab(a−2+b2)a2+b2∈{ab, 1ab}  ⟹  a=1 or b=1f(a)=\frac{1}{a},\ f(b)=b \implies f(ab) = \frac{ab(a^{-2}+b^2)}{a^2+b^2} \in \left\{ab,\ \frac{1}{ab}\right\} \implies a=1 \text{ or } b=1
詳しい解説

ある a,b>0a, b > 0 について f(a)≠af(a) \ne a かつ f(b)≠1bf(b) \ne \dfrac{1}{b} と仮定する。Step 1 より f(a)=1af(a) = \dfrac{1}{a}（a≠1a \ne 1）かつ f(b)=bf(b) = b（b≠1b \ne 1）である。(w,x,y,z)=(a,b,ab,ab)(w,x,y,z) = (a, b, \sqrt{ab}, \sqrt{ab}) と置くと a−2+b22f(ab)=a2+b22ab\dfrac{a^{-2}+b^2}{2f(ab)} = \dfrac{a^2+b^2}{2ab}、すなわち f(ab)=ab(a−2+b2)a2+b2f(ab) = \dfrac{ab(a^{-2}+b^2)}{a^2+b^2}。Step 1 により f(ab)∈{ab,1ab}f(ab) \in \left\{ab, \dfrac{1}{ab}\right\} である。f(ab)=abf(ab) = ab なら a−2+b2=a2+b2a^{-2}+b^2 = a^2+b^2 から a=1a = 1 となり矛盾する。f(ab)=1abf(ab) = \dfrac{1}{ab} なら a2b2(a−2+b2)=a2+b2a^2b^2(a^{-2}+b^2) = a^2+b^2、すなわち b2+a2b4=a2+b2b^2 + a^2b^4 = a^2+b^2 から b=1b = 1 となり、やはり矛盾する。