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第4問

f:(0,∞)→(0,∞)f: (0,\infty) \to (0,\infty)（すなわち ff は正の実数から正の実数への関数）で、(f(w))2+(f(x))2f(y2)+f(z2)=w2+x2y2+z2\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2} を、wx=yzwx = yz を満たすすべての正の実数 w,x,y,zw, x, y, z に対して満たすものをすべて求めよ。
ステップ 3/3: 二つの大域的な候補が関数方程式を満たすことを確認する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

f(x)=xf(x)=x と f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} はともに恒等的に方程式を満たす。逆数の場合も (wx)2=(yz)2(wx)^2 = (yz)^2 により分母が相殺されるからである。

f(x)=xorf(x)=1x:w−2+x−2y−2+z−2=(w2+x2)/(wx)2(y2+z2)/(yz)2=w2+x2y2+z2f(x)=x \quad \text{or} \quad f(x)=\frac{1}{x}: \quad \frac{w^{-2}+x^{-2}}{y^{-2}+z^{-2}} = \frac{(w^2+x^2)/(wx)^2}{(y^2+z^2)/(yz)^2} = \frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}
詳しい解説

Step 2 より、すべての x>0x > 0 で f(x)=xf(x) = x、またはすべての x>0x > 0 で f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} のいずれかである。両方を確認する。f(x)=xf(x) = x なら左右は恒等的に等しく、f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} なら wx=yzwx = yz のもとで w−2+x−2y−2+z−2=w2+x2y2+z2⋅(yz)2(wx)2=w2+x2y2+z2\dfrac{w^{-2}+x^{-2}}{y^{-2}+z^{-2}} = \dfrac{w^2+x^2}{y^2+z^2} \cdot \dfrac{(yz)^2}{(wx)^2} = \dfrac{w^2+x^2}{y^2+z^2} となる。したがって解はすべての x>0x > 0 に対する f(x)=xf(x) = x と、すべての x>0x > 0 に対する f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x} である。