MathLabs

第6問

BA≠BCBA \ne BC を満たす凸四角形 ABCDABCD を考える。三角形 ABCABC と ADCADC の内接円をそれぞれ ω1\omega_1、ω2\omega_2 とする。AA を越えて延びる半直線 BABA と、CC を越えて延びる半直線 BCBC に接し、さらに直線 ADAD と CDCD にも接する円 ω\omega が存在すると仮定する。ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の共通外接線の交点が ω\omega 上にあることを証明せよ。
ステップ 1/4: omega から Pitot 型の関係 AB + AD = CB + CD を示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ABCDABCD の各辺を四頂点から ω\omega への接線分で表すと、項が対になって相殺される。

BK=BL,AK=AN,CL=CM,DN=DM  ⟹  AB+AD=CB+CDBK=BL,\quad AK=AN,\quad CL=CM,\quad DN=DM \implies AB+AD=CB+CD
詳しい解説

ω\omega が半直線 BABA の AA より先で KK に接し、半直線 BCBC の CC より先で LL に接し、さらに ADAD と CDCD の DD より先の延長にそれぞれ NN と MM で接するとする。同一点から ω\omega への接線の長さが等しいので BK=BLBK = BL、AK=ANAK = AN、CL=CMCL = CM、DN=DMDN = DM。したがって AB+AD=(BK−AK)+(AN−DN)=BK−DN=BL−DM=(BL−CL)+(CM−DM)=CB+CDAB + AD = (BK - AK) + (AN - DN) = BK - DN = BL - DM = (BL - CL) + (CM - DM) = CB + CD である。