MathLabs

第6問

BA≠BCBA \ne BC を満たす凸四角形 ABCDABCD を考える。三角形 ABCABC と ADCADC の内接円をそれぞれ ω1\omega_1、ω2\omega_2 とする。AA を越えて延びる半直線 BABA と、CC を越えて延びる半直線 BCBC に接し、さらに直線 ADAD と CDCD にも接する円 ω\omega が存在すると仮定する。ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の共通外接線の交点が ω\omega 上にあることを証明せよ。
ステップ 2/4: AC 上の内接円の接点 P, Q が対称で傍接円の接点にも一致することを示す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

△ABC\triangle ABC における ω1\omega_1 と △ADC\triangle ADC における ω2\omega_2 の標準的な接線長公式を、Step 1 の AB−BC=CD−ADAB - BC = CD - AD と組み合わせると AP=CQAP = CQ が得られる。

AP=AC+AB−BC2=CA+CD−AD2=CQAP = \frac{AC+AB-BC}{2} = \frac{CA+CD-AD}{2} = CQ
詳しい解説

ω1\omega_1 と ω2\omega_2 がそれぞれ PP と QQ で ACAC に接するとする。△ABC\triangle ABC と △ADC\triangle ADC の標準的な接線長から AP=AC+AB−BC2AP = \dfrac{AC+AB-BC}{2} と CQ=CA+CD−AD2CQ = \dfrac{CA+CD-AD}{2} を得る。Step 1 の AB−BC=CD−ADAB - BC = CD - AD より AP=CQAP = CQ（P≠QP \ne Q は BA≠BCBA \ne BC による）。傍接円の標準的性質により、QQ は △ABC\triangle ABC の BB に対する傍接円が ACAC に接する点でもあり、PP は △ADC\triangle ADC の DD に対する傍接円が ACAC に接する点でもある。