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第6問

BA≠BCBA \ne BC を満たす凸四角形 ABCDABCD を考える。三角形 ABCABC と ADCADC の内接円をそれぞれ ω1\omega_1、ω2\omega_2 とする。AA を越えて延びる半直線 BABA と、CC を越えて延びる半直線 BCBC に接し、さらに直線 ADAD と CDCD にも接する円 ω\omega が存在すると仮定する。ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の共通外接線の交点が ω\omega 上にあることを証明せよ。
ステップ 3/4: B と D を中心とする相似拡大で直径の対蹠端点 P' と Q' を一直線上に置く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

BB を中心とする相似拡大で ω1\omega_1 を BB-傍接円の △ABC\triangle ABC におけるものへ移すと、ω1\omega_1 の上端（接線が ACAC に平行な点）が、その BB-傍接円の ACAC 上の接点 QQ に移る。

PP′⊥AC diameter of ω1,QQ′⊥AC diameter of ω2  ⟹  B,P′,Q collinear and D,Q′,P collinearPP' \perp AC \text{ diameter of } \omega_1,\quad QQ' \perp AC \text{ diameter of } \omega_2 \implies B, P', Q \text{ collinear and } D, Q', P \text{ collinear}
詳しい解説

PP′PP' と QQ′QQ' をそれぞれ ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の ACAC に垂直な直径とする。△ABC\triangle ABC では P′P' における ω1\omega_1 の接線が ACAC に平行である。したがって ω1\omega_1 を △ABC\triangle ABC の BB-傍接円へ移す、中心 BB の正の相似拡大は P′P' をその傍接円が ACAC に接する点へ移す。この点は Step 2 により QQ なので、B,P′,QB, P', Q は一直線上にある。△ADC\triangle ADC に同じ議論を適用すると D,Q′,PD, Q', P も一直線上にある。