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第6問

BA≠BCBA \ne BC を満たす凸四角形 ABCDABCD を考える。三角形 ABCABC と ADCADC の内接円をそれぞれ ω1\omega_1、ω2\omega_2 とする。AA を越えて延びる半直線 BABA と、CC を越えて延びる半直線 BCBC に接し、さらに直線 ADAD と CDCD にも接する円 ω\omega が存在すると仮定する。ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の共通外接線の交点が ω\omega 上にあることを証明せよ。
ステップ 4/4: P'Q と PQ' の共通交点を omega 上の点 K と同定する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ω\omega は ∠ABC\angle ABC に内接しているので、BB を中心として BB-傍接円を ω\omega に移す相似拡大は QQ を、接線が ACAC に平行な点 K∈ωK \in \omega に移す。同様に、DD を中心として △ADC\triangle ADC の DD-傍接円を ω\omega に移す相似拡大は PP を同じ点 KK に移す。したがって K=P′Q∩PQ′K = P'Q \cap PQ' であり、直径 P′PP'P を平行な直径 QQ′QQ' に移すので、KK は ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の外部相似中心である。

K∈ω with tangent ∥AC  ⟹  B,P′,Q,K collinear and D,Q′,P,K collinear  ⟹  K=P′Q∩PQ′ is the exsimilicenter of ω1,ω2K \in \omega \text{ with tangent } \parallel AC \implies B, P', Q, K \text{ collinear and } D, Q', P, K \text{ collinear} \implies K = P'Q \cap PQ' \text{ is the exsimilicenter of } \omega_1, \omega_2
詳しい解説

KK を、ω\omega 上で ACAC に最も近く、ω\omega の接線が ACAC に平行となる点とする。ω\omega と △ABC\triangle ABC の BB-傍接円はともに ∠ABC\angle ABC に内接するので、両者の BB を中心とする相似拡大は QQ を KK に移し、KK は直線 BP′QBP'Q 上にある。同様に、ω\omega と △ADC\triangle ADC の DD-傍接円はともに直線 ADAD と CDCD に接するので、DD を中心とする相似拡大は PP を KK に移し、KK は直線 DQ′PDQ'P 上にもある。P′P∥QQ′P'P \parallel QQ' は ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の平行な直径であり、K=P′Q∩PQ′K = P'Q \cap PQ' は同じ側の端点（P′P' と QQ、PP と Q′Q'）を対応させる。したがって KK を中心とする相似拡大は正の比で直径 P′PP'P を QQ′QQ' に移し、ω1\omega_1 を ω2\omega_2 に移す。ゆえに K∈ωK \in \omega は ω1\omega_1 と ω2\omega_2 の外部相似中心であり、共通外接線はそこで交わる。