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第2問

OO を外心とする三角形 ABCABC を考える。点 PP, QQ はそれぞれ辺 CACA, ABAB の内点とする。線分 BPBP, CQCQ, PQPQ の中点をそれぞれ KK, LL, MM とし、KK, LL, MM を通る円を Γ\Gamma とする。直線 PQPQ が円 Γ\Gamma に接するとき、OP=OQOP = OQ であることを証明せよ。
ステップ 1/4: K, L, M を中点連結線の端点として捉える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

M は K, L と合わせて三角形 PQB と QPC の両方に現れる中点であり、MK, ML は外側の辺に平行な中点連結線となる。

MK∥AB, MK=12QBML∥AC, ML=12PCMK \parallel AB,\ MK=\tfrac12 QB \qquad ML \parallel AC,\ ML=\tfrac12 PC
詳しい解説

三角形 PQBPQB では、MM と KK はそれぞれ PQPQ と PBPB の中点であるから、MKMK は中点連結線であり、MK∥QBMK\parallel QB、すなわち MK∥ABMK\parallel AB、さらに MK=12QBMK=\tfrac12 QB である。同様に三角形 QPCQPC では、MM と LL はそれぞれ QPQP と QCQC の中点なので、ML∥PCML\parallel PC、すなわち ML∥ACML\parallel AC、かつ ML=12PCML=\tfrac12 PC である。MK∥ABMK\parallel AB および ML∥ACML\parallel AC だから、MKMK と MLML のなす角は ABAB と ACAC のなす角に等しく、∠KML=∠BAC\angle KML=\angle BAC となる。また MLMK=PCQB\dfrac{ML}{MK}=\dfrac{PC}{QB} である。