第1問

n, k \ge 2

を正の整数とし、

a_1, a_2, \dots, a_k

を集合

\{1, 2, \dots, n\}

に属する相異なる整数で、

i = 1, 2, \dots, k - 1

のすべてに対して

n

が

a_i(a_{i+1} - 1)

を割り切るとする。このとき

n

は

a_k(a_1 - 1)

を割り切らないことを証明せよ。

ステップ 2/5: n をちょうど割り切る素数冪を一つ固定する

前のステップ次のステップ

q=p^e \parallel n \implies p \mid a_1 \text{ or } p \mid (a_2-1)

詳しい解説

$q=p^e$ が $n$ をちょうど割り切る（ $q\parallel n$ と書く）ような素数 $p$ と指数 $e\ge1$ を固定する。 $q$ は $a_1(a_2-1)$ を割り切るので、素数 $p$ は $a_1$ を割り切るか $a_2-1$ を割り切るかのいずれかである。それぞれの場合を調べ、すべての $i$ について $a_i \pmod q$ が同一の定数になることを示す。