第1問

n, k \ge 2

を正の整数とし、

a_1, a_2, \dots, a_k

を集合

\{1, 2, \dots, n\}

に属する相異なる整数で、

i = 1, 2, \dots, k - 1

のすべてに対して

n

が

a_i(a_{i+1} - 1)

を割り切るとする。このとき

n

は

a_k(a_1 - 1)

を割り切らないことを証明せよ。

ステップ 3/5: 場合 p | a₁：輪を逆向きにたどる

前のステップ次のステップ

p \mid a_1 \implies q \mid a_i \text{ for every } i=1,\dots,k

詳しい解説

$p\mid a_1$ ならば $p\nmid(a_1-1)$ なので、 $a_1-1$ は $q$ を法として可逆である。 $a_k(a_1-1)\equiv0\pmod q$ より $q\mid a_k$ を得る。すると $p\mid a_k$ により $a_k-1$ も $q$ を法として可逆となり、 $a_{k-1}(a_k-1)\equiv0\pmod q$ から $q\mid a_{k-1}$ を得る。これを関係式 $i=k-1,k-2,\dots,1$ に沿って逆向きに繰り返すと、すべての $i=1,\dots,k$ について $q\mid a_i$ 、すなわちすべての $a_i$ が $\equiv 0\pmod q$ であることが分かる。