第1問

n, k \ge 2

を正の整数とし、

a_1, a_2, \dots, a_k

を集合

\{1, 2, \dots, n\}

に属する相異なる整数で、

i = 1, 2, \dots, k - 1

のすべてに対して

n

が

a_i(a_{i+1} - 1)

を割り切るとする。このとき

n

は

a_k(a_1 - 1)

を割り切らないことを証明せよ。

ステップ 4/5: 他方 p | (a₂−1)：輪を順方向にたどる

前のステップ次のステップ

p \mid (a_2-1) \implies a_i \equiv 1 \pmod q \text{ for every } i=1,\dots,k

詳しい解説

そうでなければ $p\nmid a_1$ なので、 $a_1$ は $q$ を法として可逆であり、 $a_1(a_2-1)\equiv0\pmod q$ から $a_2\equiv1\pmod q$ が従う。すると $a_2$ も $q$ を法として可逆であり、 $a_2(a_3-1)\equiv0\pmod q$ から $a_3\equiv1\pmod q$ が得られる。 $i=2,3,\dots,k-1$ として順に進めると、 $a_i\equiv1\pmod q$ が $i=2,\dots,k$ について成り立つ。最後に、仮定した関係 $a_k(a_1-1)\equiv0\pmod q$ において $a_k$ は可逆なので、 $a_1\equiv1\pmod q$ も得られる。したがってすべての $a_i$ は $\equiv 1\pmod q$ である。