n のすべての素数冪因子を法として一致することは、n 自体を法として一致することを意味するが、aia_iai はもともと n を法とする相異なる剰余として選ばれている。
いずれの場合も、すべての aia_iai は qqq を法として同じ定数（000 または 111）に合同である。q=peq=p^eq=pe は nnn をちょうど割り切る任意の素数冪であったから、中国剰余定理により a1≡a2≡⋯≡ak(modn)a_1\equiv a_2\equiv\dots\equiv a_k\pmod na1≡a2≡⋯≡ak(modn) を得る。しかし a1,…,aka_1,\dots,a_ka1,…,ak は nnn を法とする完全剰余系である {1,…,n}\{1,\dots,n\}{1,…,n} の相異なる元であり、k≥2k\ge2k≥2 なのですべてが nnn を法として合同にはなり得ない。この矛盾により仮定が誤りであったことが分かり、nnn は ak(a1−1)a_k(a_1-1)ak(a1−1) を割り切らない。■\blacksquare■