MathLabs

第2問

OO を外心とする三角形 ABCABC を考える。点 PP, QQ はそれぞれ辺 CACA, ABAB の内点とする。線分 BPBP, CQCQ, PQPQ の中点をそれぞれ KK, LL, MM とし、KK, LL, MM を通る円を Γ\Gamma とする。直線 PQPQ が円 Γ\Gamma に接するとき、OP=OQOP = OQ であることを証明せよ。
ステップ 2/4: M における接弦角を追う
前のステップ次のステップ
∠AQP=∠KMQ=∠MLK\angle AQP=\angle KMQ=\angle MLK
詳しい解説

MK∥AQMK\parallel AQ（直線 ABAB の一部）なので、横断線 QMQM により錯角が等しく ∠AQP=∠AQM=∠KMQ\angle AQP=\angle AQM=\angle KMQ となる（MM は線分 PQPQ 上にあるので、半直線 QMQM は半直線 QPQP と同じ）。PQPQ は MM で Γ\Gamma に接するので、弦 MKMK に対する接弦角の定理より ∠KMQ=∠MLK\angle KMQ=\angle MLK（弦 MKMK に対する反対側の弧から LL が見込む内接角）が成り立つ。よって ∠AQP=∠MLK\angle AQP=\angle MLK。