Q と P は外接円の弦 AB, CA 上にあるので、それらの外接円に関する方べきはちょうど今計算した積に等しい。
QQQ は三角形 ABCABCABC の外接円（中心 OOO、半径 OAOAOA）の弦 ABABAB 上にあるので、QQQ の方べきにより AQ⋅QB=OA2−OQ2AQ\cdot QB=OA^2-OQ^2AQ⋅QB=OA2−OQ2。PPP は弦 CACACA 上にあるので同様に AP⋅PC=OA2−OP2AP\cdot PC=OA^2-OP^2AP⋅PC=OA2−OP2。手順3で AQ⋅QB=AP⋅PCAQ\cdot QB=AP\cdot PCAQ⋅QB=AP⋅PC を示したので、OA2−OQ2=OA2−OP2OA^2-OQ^2=OA^2-OP^2OA2−OQ2=OA2−OP2、よって OP2=OQ2OP^2=OQ^2OP2=OQ2 すなわち OP=OQOP=OQOP=OQ を得る。■\blacksquare■