第3問

$d_n=s(n+1)-s(n)\ge1$ とする。$s(n)$ と $s(n)+1$ は連続する整数なので、$s(s(n)+1)-s(s(n))$ はちょうど $d_{s(n)}$ である。しかし手順1よりこの差は $(Dn+B)-(Dn+A)=B-A$ に等しい。よってすべての $n\ge1$ で $d_{s(n)}=B-A$ ——一定の定数である。一方、$s(s(n+1))-s(s(n))=D$ は $d_n$ 個の隣接差の和 $d_{s(n)}+d_{s(n)+1}+\dots+d_{s(n+1)-1}$（項数は $s(n+1)-s(n)=d_n$）として望遠鏡式に展開できる。各項が $\ge1$ なので、すべての $n$ で $D\ge d_n$ を得る。したがって $d_n$ は有界であり、$m:=\min_n d_n$ と $M:=\max_n d_n$ がともに存在する。