第3問

$d_a=M$ となる $a$ を選ぶ。$m=s(a)$ と $m=s(a+1)$ で $s(s(m))=Dm+A$ を用いると $s(s(s(a+1)))-s(s(s(a)))=D\big(s(a+1)-s(a)\big)=DM$ を得る。一方、同じ量は $s(s(a+1))-s(s(a))=D$ であることから、$D$ 個の隣接差の和 $d_{s(s(a))}+\dots+d_{s(s(a+1))-1}$ として望遠鏡式に展開できる。$M$ の定義よりこれら $D$ 項は各々 $\le M$ なので和は $\le DM$ となり、今示した等号成立から、これら $D$ 項すべてがちょうど $M$ に等しいことが強制される。特に $d_{s(s(a))}=M$。しかし手順2（$n=s(a)$ の場合）より $d_{s(s(a))}=B-A$ である。よって $M=B-A$。