MathLabs

第3問

s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots を正の整数からなる狭義単調増加数列とし、部分列 ss1,ss2,ss3,…s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots と ss1+1,ss2+1,ss3+1,…s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots がともに等差数列であるとする。このとき数列 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots それ自身が等差数列であることを証明せよ。
ステップ 4/5: 対称な議論で最小増分も確定する
前のステップ次のステップ
da′=m  ⟹  ds(s(a′))=⋯=ds(s(a′+1))−1=m  ⟹  m=B−Ad_{a'}=m \implies d_{s(s(a'))}=\dots=d_{s(s(a'+1))-1}=m \implies m=B-A
詳しい解説

da′=md_{a'}=m となる添字 a′a' で手順3をそのまま繰り返す。同じ望遠鏡式恒等式 DMDM は Dm=D(s(a′+1)−s(a′))Dm=D\big(s(a'+1)-s(a')\big) となる。これは、mm の定義により各項が ≥m\ge m である DD 項の和として書けるので、その和は ≥Dm\ge Dm である。したがって各項はちょうど mm でなければならない。特に ds(s(a′))=md_{s(s(a'))}=m であり、手順2から再び ds(s(a′))=B−Ad_{s(s(a'))}=B-A を得る。よって m=B−Am=B-A でもある。